Vi è mai capitato di chiedervi perché, se lanciate una palla oggi o la lanciate domani, questa segua sempre la stessa traiettoria, ovvero una parabola? O perché un pattinatore sul ghiaccio ruoti più velocemente quando stringe le braccia al corpo? Se pensate che siano solo “leggi della natura”, che esistono “perché è così”, vi state perdendo forse la parte più affascinante della storia!
Esiste un ponte invisibile che collega la bellezza estetica della geometria alla dura realtà della fisica, e questo ponte ha un nome: Teorema di Noether.
Amalie Emmy Noether, definita da Albert Einstein come il genio matematico più significativo da quando è iniziata l’istruzione superiore per le donne, ha formulato il teorema che prende il suo nome nel 1918, teorema che è, a tutti gli effetti, la “stele di Rosetta” della fisica moderna.
Simmetria: Non solo una questione di specchi
Per capire il teorema, dobbiamo prima chiarire cosa intendono i fisici per simmetria. Nel linguaggio comune pensando a qualcosa di simmetrico pensiamo spesso a un volto regolare, senza particolari differenze fra la sua parte sinistra e destra, proprio come le ali di una farfalla. A livello fisico-matematico, la simmetria è qualcosa di più profondo e che ha a che fare con le trasformazioni e l’immutabilità delle equazioni. Ad esempio un sistema si dice simmetrico rispetto a una trasformazione continua (rotazione, traslazione, ecc.) se le sue variabili spaziali rimangono invariate sotto la trasformazione stessa.
Proviamo a fare un esempio, chiedendo aiuto a due assistenti di laboratorio d’eccezione, come per l’esperimento dei fotoni (si veda l’articolo sull’Entanglement Quantistico): Spongebob e Patrick.
- Simmetria per traslazione temporale.
Immaginiamo di chiedere gentilmente a Spongebob di far cadere una mela adesso, proprio nell’istante in cui state leggendo queste parole. Chiediamo poi a Patrick di fare lo stesso domani. Immaginiamo di ripetere l’esperimento ogni giorno, mantenendo le stesse condizioni. Possiamo aspettarci che la mela cadrà sempre esattamente nello stesso modo. Diremo allora che l’esperimento è “simmetrico” rispetto a traslazioni temporali.
- Simmetria per traslazione spaziale.
Allo stesso modo se chiedessimo a Spongebob di lasciar cadere la mela (consiglio di cambiare mela rispetto al precedente esperimento, poiché risulterà molto ammaccata) a Bikini Bottom, mentre Patrick compie la stessa azione sulla terraferma (ipotizzando che il campo gravitazionale sia identico nei due luoghi) possiamo intuire che il suo moto non cambierebbe. Detto in altri termini possiamo affermare che le leggi della fisica non dipendono da dove ci si trova, ovvero risultano simmetriche per traslazioni spaziali. - Simmetria per rotazione.
Allo stesso modo ripetendo un esperimento ruotando il laboratorio in cui viene effettuato possiamo aspettarci che non cambino le misure prese. Diremo in questo caso che non esiste una direzione “privilegiata”, ovvero è presente una simmetria per rotazione.
Grazie alla sua genialità e alle sue formidabili capacità, Noether fu in grado di dimostrare che a ogni simmetria continua della natura corrisponde, necessariamente, una legge di conservazione. È come se l’universo avesse una contabilità perfetta: se un sistema fisico non cambia dopo una certa trasformazione, allora deve esistere una grandezza fisica che si conserva, ovvero che rimane costante.
Se Spongebob nota che l‘energia si conserva in un esperimento, è solo perché l’universo è “pigro” e non cambia le sue regole col passare dei minuti. Allo stesso modo la conservazione della quantità di moto è dovuta a l’invarianza per traslazioni spaziali. Mentre se Patrick vede che il momento angolare si conserva (come nel caso del pattinatore che ruota), è perché lo spazio non ha direzioni preferenziali.
Per chi non teme un po’ di formalismo, Il teorema afferma che se l’azione è invariante sotto un gruppo di trasformazioni a un parametro, allora esiste una corrente conservata ,come descritto dalla seguente equazione:
Grazie a Noether i fisici hanno iniziato a comprendere meglio le leggi della natura, dalla meccanica, l’elettrodinamica (anche la conservazione della carica elettrica è una conseguenza del suo teorema) fino ad arrivare al bosone di Higgs.
Proprio come nell’entanglement vedevamo particelle “intrecciate” nello spazio, il teorema di Noether ci mostra un legame fra matematica, geometria e fisica così profondo che oggi è considerato da molti il più importante teorema della fisica.
Katia Chikhi 3BBio.